Правильні восьмикутники в гіперболічній геометрії

Анотація

При побудові гіперболічних структур на замкнених поверхнях можна використати гіперболічну геометрію (геометрію Лобачевського) на площині. Для цього потрібно подати поверхню у вигляді -кутника на гіперболічній площині і задати дію дискретної групи, що є підгрупою рухів гіперболічної площини, для якої -кутник є фундаментальною областю. Якщо такою поверхнею є подвійний тор (орієнтована поверхня роду ), то її можна отримати, склеївши протилежні сторони восьмикутника. Фактично площина Лобачевського розбивається на восьмикутники. Наявність симетрій спрощує обчислення. Тому природно виникає задача про розбиття на правильні восьмикутники. Крім того, важливо навести приклади таких восьмикутників, задавши координати їх вершин в одній з моделей гіперболічної геометрії.

Використовуються моделі верхньої півплощини та модель Пуанкаре на одиничному диску, для яких задана ріманова метрика (формула для знаходження довжин дуг кривих). Ми описуємо основні властивості гіперболічних прямих та групи рухів (групи ізометричних відображень) гіперболічної геометрії на площині за допомогою дробово-лінійних відображень комплексної площини з дійсними коефіцієнтами.

Отримано формулу для координат вершин та довжин діагоналей правильного восьмикутника з центром в початку координат у моделі Пуанкаре. Побудовано такі правильні восьмикутники, якими можна замістити гіперболічну площину, для чотирьох найбільших можливих кутів.