Розкладання елементарних функцій у степеневі ряди методами алгебри

Анотація

Як відомо, методи на основі степеневих рядів – один із стовпів математичного аналізу. Для аналітичних функцій степеневі ряди можуть бути легко отримані з теореми Тейлора у вигляді рядів Маклорена обчислюванням похідних цих функцій при . У той же час було б корисно вміти розкладати функції в ряд, не користуючись поняттям похідної. Зокрема, такі розклади стали б в пригоді при обчисленні границь – основи математичного аналізу. У роботі Л. П. Мироненка і О. А Рубцової (2013) висунута ідея, що для розкладу в ряд елементарних функцій можна використати властивості цих функцій та отримано перші члени їхнього розкладу в степеневий ряд. У роботі В. І. Романенка та О. В. Романенка (2024) узагальнення цього підходу дозволило отримати члени ряду для синуса, косинуса і експоненти у загальному вигляді. У пропонованій читачу статті у спрощеному вигляді подаються основні результати цитованих статей, доповнені виведенням формули для розкладання тангенса у степеневий ряд. Виклад побудовано так, щоб суть ідеї і математичні викладки були зрозумілі читачу зі знанням шкільної програми. Можливість алгебраїчного підходу до розкладання функцій в ряди може бути поясненням того, як саме індійському математику Мадхаві (XIV–XV століття) вдалося отримати перші кілька членів розкладу в ряд для синуса, косинуса і арктангенса задовго до появи методів аналізу функцій у сучасному вигляді.